函數的極限

　　數列極限，是自變量限制在自然數內的特殊函數的極限。現在取消自變量的這種限制，使其可以在整個函數定義域內取值且討論其相關極限，這就是所謂的函數極限。由于自變量的取值更為自由，將滋生出多種極限的形式。先定義兩種函數極限，1)自變量趨于無窮大，2)自變量趨于有限值。

　　函數極限定義1

　　設 f(x) 是一個實函數，A是一個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在X，對于任何x，當|x|〉X時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于無窮大時收斂于A。記為

　　lim[x→∞] f(x) = A

　　此定義或表述為

　　lim[x→∞] f(x) = A ? ?ε>0,?X,?x(|x|>X{|f(x)-A|<ε))

　　函數極限定義2

　　設 f(x) 是一個實函數，A和x0是兩個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在δ，對于任何x，當0<|x-x0|<δ時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于x0時收斂于A。記為

　　lim[x→x0] f(x) = A

　　同樣，此定義可表述為

　　lim[x→x0] f(x) = A ? ?ε>0,?δ,?x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|<ε))

　　這兩個定義分別是(ε,X)和(ε,δ)分析表述。

　　這里需注意不等式0<|x-x0|<δ，這是個去掉x0的以x0為中心半徑為δ的開區間(或稱領域)，稱為x0的δ去心領域，即(x0-δ,x+δ)\{x0}。

　　此外，還需注意上述定義中x→∞是指雙向趨于正負無窮大，而x→x0是指左右兩側逼近x0。

　　為了區分正負無窮大和左右逼近x0，特別定義了單側極限如下

　　函數極限定義3

　　設 f(x) 是一個實函數，A是一個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在X，對于任何x，當x>X時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于正無窮大時收斂于A。記為

　　lim[x→∞+] f(x) = A

　　或表述為

　　lim[x→∞+] f(x) = A ? ?ε>0,?X,?x>X{|f(x)-A|<ε)

　　設 f(x) 是一個實函數，A是一個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在X，對于任何x，當x

　　lim[x→∞-] f(x) = A

　　或表述為

　　lim[x→∞-] f(x) = A ? ?ε>0,?X,?x

　　函數極限定義4

　　設 f(x) 是一個實函數，A和x0是兩個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在δ，對于任何x，當x0

　　lim[x→x0+] f(x) = A

　　或表述為

　　lim[x→x0+] f(x) = A ? ?ε>0,?δ,?x(x0

　　設 f(x) 是一個實函數，A和x0是兩個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在δ，對于任何x，當x0-δ

　　lim[x→x0-] f(x) = A

　　或表述為

　　lim[x→x0-] f(x) = A ? ?ε>0,?δ,?x(x0-δ

　　單側極限“x→∞+”和“x→x0+”稱為右極限，而“x→∞-”和“x→x0-”稱為左極限。單側極限在連續性分析中相當重要。

　　如果將上述定義中的不等式|f(x)-A|<ε改為|f(x)|>ε、f(x)>ε和 f(x)<ε，將得到拓廣的函數極限，即lim f(x) = ∞、lim f(x) = ∞+和lim f(x) = ∞-。

　　現在建立數列和函數極限的關系，即海涅定理

　　函數極限lim[x→x0] f(x) = A存在的充分必要條件是：對于任何滿足lim[n→∞] x(n) = x0且x(n)≠x0的數列，相應的函數數列{f(x(n))}成立lim[n→∞] f(x(n)) = A。

　　證明：

　　先證必要性。由lim[x→x0] f(x) = A必有?ε>0,?δ,?x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|<ε))。而由lim[n→∞] x(n) = x0且x(n)≠x0必有?N,?n>N(0<|x(n)-x0|<δ)，則|f(x(n))-A|<ε。即lim[n→∞] f(x(n)) = A。

　　再證充分性。假設lim[x→x0] f(x) = A不成立，則必有?ε>0,?δ,?x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|>ε))。取δ1，存在x1屬于x0的δ1去心領域(即0<|x1-x0|<δ1)，有|f(x1)-A|>ε。再取δ2=δ1/2，存在x2屬于x0的δ2去心領域(即0<|x2-x0|<δ2)，有|f(x2)-A|>ε。類推取δn=δ1/2^(n-1)，存在xn屬于x0的δn去心領域(即0<|xn-x0|<δn)，有|f(xn)-A|>ε。顯然，lim[x→x0] xn = x0，但lim[n→∞] f(x(n)) = A不成立，與條件矛盾。所以必然成立lim[x→x0] f(x) = A。證畢。

　　類似數列極限中的柯西收斂原理，函數極限中也有相似的收斂原理。

　　函數極限lim[x→∞] f(x)存在而且有限的充分必要條件是：?ε>0,?X,?x1>X∧?x2>X(|f(x1)-f(x2)|<ε)。

　　證明：

　　先證必要性。設lim[x→∞] f(x) = A，即?ε>0,?X,?x>X(|f(x)-A|<ε/2)。具體設?x1>X和?x2>X，有|f(x1)-A|<ε/2和|f(x2)-A|<ε/2。于是有

　　|f(x1)-f(x2)|<|f(x1)-A|+|f(x2)-A|<ε

　　即條件滿足。

　　再證充分性。任選趨于正無窮大的數列{x(n)}，即lim[n→∞] x(n) = ∞+。由條件(?ε>0,?X,?x1>X∧?x2>X(|f(x1)-f(x2)|<ε))可知，?N,?n>N∧?m>N(x(n)>X∧x(m)>X)，則|f(x(n))-f(x(m))|<ε，即?ε>0,?N,?n>N∧?m>N(|f(x(n))-f(x(m))|<ε)。根據數列極限的柯西收斂原理，數列{f(x(n))}收斂。由于數列{x(n)}的任意性，由海涅定理可知lim[x→∞] f(x)存在且有限。

　　證畢。

　　關于函數極限lim[x→x0] f(x)也有類似的收斂原理，在此不詳述。

　　類似數列極限，函數極限也有一系列的性質和運算法則，簡列如下：

　　1)函數極限的唯一性

　　2)收斂函數的局部有界性

　　3)收斂函數的局部保序性

　　4)函數極限的夾逼性

　　5)函數極限的運算法則

　　a)lim (a f(x) + b g(x)) = a lim f(x) + b lim g(x)

　　b)lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)

　　c) 如果lim g(x) ≠ 0，則lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)