GMAT數學備考指導：一元二次方程
想要迅速提高GMAT數學的考試成績，考生需要在熟練掌握GMAT數學備考要點的基礎上，掌握一些實用的解題技巧，以提高GMAT數學的備考效率。下面就來為大家簡單介紹一下GMAT數學考試中的常見考點及解題技巧，希望能夠為考生備考GMAT數學帶來幫助。
一、知識要點：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式=b2-4ac。
定理1 ax^2+bx+c=0中，0方程有兩個不等實數根
定理2 ax^2+bx+c=0中，=0方程有兩個相等實數根
定理3 ax^2+bx+c=0中，0方程沒有實數根
2、根的判別式逆用得到三個定理。
定理4 ax^2+bx+c=0中，方程有兩個不等實數根0
定理5 ax^2+bx+c=0中，方程有兩個相等實數根=0
定理6 ax^2+bx+c=0中，方程沒有實數根0
注意：再次強調：根的判別式是指=b2-4ac。使用判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。如果說方程有實數根，即應當包括有兩個不等實根或有兩相等實根兩種情況，此時b2-4ac0切勿丟掉等號。根的判別式b2-4ac的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，要注意隱含條件a0
二.根的判別式有以下應用：
不解一元二次方程，判斷根的情況。
例1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
ax^2+bx=0
解：
∵a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常數項的不完全的一元二次方程，將常數項視為零，
∵=2-4a
∵無論b取任何關數，b2均為非負數，
0， 故方程有兩個實數根。
根據方程根的情況，確定待定系數的取值范圍。
例2.k的何值時?關于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0有兩個不相等的實數根;有兩個相等的實數根;沒有實數根;
分析：由判別式定理的逆定理可知0;0;
解：=2-4
∵方程有兩個不相等的實數根，
0，即36-4k0.解得k
∵方程有兩個不相等的實數根，
=0，即36-4k=0.解得
∵方程有兩個不相等的實數根，
0，即36-4k0.解得
證明字母系數方程有實數根或無實數根。
例3.求證方程x2-2mx+=0沒有實數根。
分析：先求出關于x的方程的根的判別式，然后只需說明判別式是一個負數，就證明了該方程沒有實數根。 分頁標題#e#
證明： =-42
∵不論m取任何實數
-420, 即
關于x的方程x2-2mx+=0沒有實數根。
小結：由上面的證明認清證明的格式歸納出證明的步驟：
計算
用配方法將恒等變形
判斷的符號
結論.其中難點是的恒等變形，一般情況下配方后變形后為形如：a2,a2+2,2, -a2, -2的代數式，從而判定正負，非負等情況。
應用根的判別式判斷三角形的形狀。
例4.已知：a、b、c為ABC的三邊，當m0時，關于x的方程c+b-2ax=0有兩個相等的實數根。求證ABC為Rt。
判斷當字母的值為何值時，二次三項是完全平方式
例5、若關于a的二次三項式16a2+ka+25是一個完全平方式則k的值可能是
若關于a的二次三項式ka2+4a+1是一個完全平方式則k的值可能是
分析：可以令二次三項等于0，若二次三項是完全平方式，則方程有兩個相等的實數根。即
解：
∵方程有兩個相等的實數根，
=k2-416
k=+40或者
∵方程有兩個相等的實數根，=16-4k=0
可以判斷拋物線與直線有無公共點
例6:當m取什么值時，拋物線與直線y=x+2m只有一個公共點?
解:列方程組消去y并整理得
，∵拋物線與直線只有一個交點，
=0，即 4m+5=0
說明：直線與拋物線的交點問題也可歸納為方程組的解的問題。
可以判斷拋物線與x軸有幾個交點
分析：拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點 當y=0時，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可見，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的個數是由對應的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況確定的，而決定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形：
當時，拋物線與x軸有兩個交點，若此時一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，則拋物線與x軸的兩個交點坐標為。
當時，拋物線與x軸有唯一交點，此時的交點就是拋物線的頂點，其坐標是。
當 時，拋物線與x軸沒有交點。
例7、判定下列拋物線與x軸交點的個數：
解：=16-12=40 拋物線與x軸有兩個交點。
=36-36=0 拋物線與x軸只有一個公共點。 分頁標題#e#
=4-16=-120 拋物線與x軸無公共點。
例8、已知拋物線
當m取什么值時，拋物線和x軸有兩個公共點?
當m取什么值時，拋物線和x軸只有一個公共點?并求出這個公共點的坐標。
當m取什么值時，拋物線和x軸沒有公共點?
解：令y=0，則 =
∵拋物線與x軸有兩個公共點， 0，即 4m+80
∵拋物線和x軸只有一個公共點， =0，即 4m+8=0
當m=2時，方程可化為，解得x1=x2= -1，拋物線與x軸公共點坐標為。
∵拋物線與x軸沒有公共點， 0，即 -4m+80，
當m2時，拋物線與x軸沒有公共點。
利用根的判別式解有關拋物線與x軸兩交點間的距離的問題
分析:拋物線 與x軸兩交點間的距離，是對應的一元二次方程 的兩根差的絕對值。它有以下表示方法：
例9: 求當a為何值時?二次函數 圖象與x軸的兩個交點間的距離是3。
想要迅速提高GMAT數學的考試成績，考生需要在熟練掌握GMAT數學備考要點的基礎上，掌握一些實用的解題技巧，以提高GMAT數學的備考效率。下面就來為大家簡單介紹一下GMAT數學考試中的常見考點及解題技巧，希望能夠為考生備考GMAT數學帶來幫助。
一、知識要點：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式=b2-4ac。
定理1 ax^2+bx+c=0中，0方程有兩個不等實數根
定理2 ax^2+bx+c=0中，=0方程有兩個相等實數根
定理3 ax^2+bx+c=0中，0方程沒有實數根
2、根的判別式逆用得到三個定理。
定理4 ax^2+bx+c=0中，方程有兩個不等實數根0
定理5 ax^2+bx+c=0中，方程有兩個相等實數根=0
定理6 ax^2+bx+c=0中，方程沒有實數根0
注意：再次強調：根的判別式是指=b2-4ac。使用判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。如果說方程有實數根，即應當包括有兩個不等實根或有兩相等實根兩種情況，此時b2-4ac0切勿丟掉等號。根的判別式b2-4ac的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，要注意隱含條件a0
二.根的判別式有以下應用：
不解一元二次方程，判斷根的情況。
例1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
ax^2+bx=0
解：
∵a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常數項的不完全的一元二次方程，將常數項視為零，
∵=2-4a
∵無論b取任何關數，b2均為非負數，
0， 故方程有兩個實數根。
根據方程根的情況，確定待定系數的取值范圍。
例2.k的何值時?關于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0有兩個不相等的實數根;有兩個相等的實數根;沒有實數根;
分析：由判別式定理的逆定理可知0;0;
解：=2-4
∵方程有兩個不相等的實數根，
0，即36-4k0.解得k
∵方程有兩個不相等的實數根，
=0，即36-4k=0.解得
∵方程有兩個不相等的實數根，
0，即36-4k0.解得
證明字母系數方程有實數根或無實數根。
例3.求證方程x2-2mx+=0沒有實數根。
分析：先求出關于x的方程的根的判別式，然后只需說明判別式是一個負數，就證明了該方程沒有實數根。 分頁標題#e#
證明： =-42
∵不論m取任何實數
-420, 即
關于x的方程x2-2mx+=0沒有實數根。
小結：由上面的證明認清證明的格式歸納出證明的步驟：
計算
用配方法將恒等變形
判斷的符號
結論.其中難點是的恒等變形，一般情況下配方后變形后為形如：a2,a2+2,2, -a2, -2的代數式，從而判定正負，非負等情況。
應用根的判別式判斷三角形的形狀。
例4.已知：a、b、c為ABC的三邊，當m0時，關于x的方程c+b-2ax=0有兩個相等的實數根。求證ABC為Rt。
判斷當字母的值為何值時，二次三項是完全平方式
例5、若關于a的二次三項式16a2+ka+25是一個完全平方式則k的值可能是
若關于a的二次三項式ka2+4a+1是一個完全平方式則k的值可能是
分析：可以令二次三項等于0，若二次三項是完全平方式，則方程有兩個相等的實數根。即
解：
∵方程有兩個相等的實數根，
=k2-416
k=+40或者
∵方程有兩個相等的實數根，=16-4k=0
可以判斷拋物線與直線有無公共點
例6:當m取什么值時，拋物線與直線y=x+2m只有一個公共點?
解:列方程組消去y并整理得
，∵拋物線與直線只有一個交點，
=0，即 4m+5=0
說明：直線與拋物線的交點問題也可歸納為方程組的解的問題。
可以判斷拋物線與x軸有幾個交點
分析：拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點 當y=0時，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可見，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的個數是由對應的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況確定的，而決定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形：
當時，拋物線與x軸有兩個交點，若此時一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，則拋物線與x軸的兩個交點坐標為。
當時，拋物線與x軸有唯一交點，此時的交點就是拋物線的頂點，其坐標是。
當 時，拋物線與x軸沒有交點。
例7、判定下列拋物線與x軸交點的個數：
解：=16-12=40 拋物線與x軸有兩個交點。
=36-36=0 拋物線與x軸只有一個公共點。 分頁標題#e#
=4-16=-120 拋物線與x軸無公共點。
例8、已知拋物線
當m取什么值時，拋物線和x軸有兩個公共點?
當m取什么值時，拋物線和x軸只有一個公共點?并求出這個公共點的坐標。
當m取什么值時，拋物線和x軸沒有公共點?
解：令y=0，則 =
∵拋物線與x軸有兩個公共點， 0，即 4m+80
∵拋物線和x軸只有一個公共點， =0，即 4m+8=0
當m=2時，方程可化為，解得x1=x2= -1，拋物線與x軸公共點坐標為。
∵拋物線與x軸沒有公共點， 0，即 -4m+80，
當m2時，拋物線與x軸沒有公共點。
利用根的判別式解有關拋物線與x軸兩交點間的距離的問題
分析:拋物線 與x軸兩交點間的距離，是對應的一元二次方程 的兩根差的絕對值。它有以下表示方法：
例9: 求當a為何值時?二次函數 圖象與x軸的兩個交點間的距離是3。
